«Департамент образования Администрации города Сургут»


Главная Обучающимся ЕГЭ Системы счисления

Системы счисления

Основные понятия

Системы счисления - способ записи чисел

Цифры – символы, при помощи которых записывается число

Позиционная система счисления – система счисления, в которой числовое значение каждой цифры зависит от номера ее позиции (разряда) в последовательности цифр, представляющей число.

Непозиционной называют систему счисления, в которой знаку, представляющему собой цифру, всегда соответствует определенное значение вне зависимости от его местоположения в записи числа.

Алфавит позиционной системы счисления – совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел.

Алфавит некоторых позиционных систем счисления

Система счисления

Алфавит

Двоичная

Троичная

Восьмеричная

Десятичная

Шестнадцатеричная

0, 1

0,1,2

0,1,2,3,4,5,6,7

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Перевод чисел в десятичную систему счисления

Из двоичной

101102=0*20+1*21+1*22+0*23+1*24=2+4+16=2210

Из восьмеричной

17438=3*80+4*81+7*82+1*83=3+32+448+512=99510

Из p-ичной

Ap=a0*p0+a1*p1+a2*p2+….+anpn

Где ana2a1a0   запись числаA, ai- цифры, p – основание системы счисления

Перевод чисел из десятичной системы счисления в p-ичную

Десятичное число и его частное необходимо делить на p (основание системы счисления) до тех пор, пока частное не станет равно нулю. Остатки, записанные «снизу-вверх», будут являться числом в p-ичной системе счисления.

Перевод двоичных чисел в восьмеричную систему счисления

•         Разбить двоичной число на тройки цифр (отсчитывая справа) - триады

•         Заменить каждую триаду восьмеричной цифрой

Пример:  10101101→ 10  101  101 →  2  5  5 → 2558

Перевод двоичных чисел в шестнадцатеричные

•         Разбить двоичной число на четверки цифр (отсчитывая справа) - тетрады

•         Заменить каждую тетраду шестнадцатеричной цифрой

Пример: 10101101→ 1010  1101 → A  D → AD16

Представление чисел в разных системах счисления           

10-чная

2-чная

8-чная

16-чная

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0

1

10

11

100

101

110

111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

10000

0

1

2

3

4

5

6

7

10

11

12

13

14

15

16

17

20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

Задачи

1.            Чему равно количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 129 ?

Решение:

Переведем 129 из десятичной системы счисления в двоичную: Делим число 129 и получаемые частные на 2 до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Искомое число – остатки, записанные в обратном порядке. Имеем число 100000012

Ответ: 6 значащих нулей

2.            Вычислите значение суммы 102+108+1016 в десятичной системе счисления

Решение:

Переведем все числа в десятичную систему счисления

102=0*20+1*21=2

108=0*80+1*81=8

1016=0*160+1*161=16

Теперь найдем сумму получившихся десятичных чисел: 2+8+16=26

Ответ: 26

3.            В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.

Решение:

Пусть n – это основание. Переведем число 110n в десятичную систему счисления:

110n =0*n0+1*n1+1*n2

Имеем следующее уравнение: n+n2=12

Решив квадратное уравнение, имеем n1=3, n2=-3

Отрицательное число нам не подходит.

Ответ: троичная система счисления

4.            Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

Решение:

Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления, значит число 18 (22-4=18) делится на основание системы счисления без остатка. Найдем делители числа 18. Это числа 2, 3, 6, 18

В двоичной и троичной системах счисления не может быть цифры 4.

Ответ: 6, 18

5.            Для кодирования букв А,Б,В,Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Какое 16-ричное число получится, если таким способом закодировать последовательность символов ГБВА?

Решение:

По условию задачи код буквы А – 00, код буквы Б – 01, код буквы В – 10, код буквы Г – 11. Последовательно запишем коды символов ГБВА. Имеем 11 01 10 00. Разобьем получившуюся последовательность цифр на четверки (тетрады) и заменим каждую тетраду шестнадцатеричной цифрой: 1101=D16    1000=816  

Ответ: D816

Copyright

© 2006. МБОУ дополнительного образования Центр научно-технического творчества «Информатика +». Все права защищены, копирование материалов сайта возможно только с разрешения редакции.